Encendiendo y apagando luces

bombillaEl acertijo de hoy me parece algo más complicado que los habituales, y es posible que haya que pensar de un modo algo más “matemático” que en otros de los que se han ido proponiendo en esta página, en cualquier caso estoy convencido de que a muchos se os encenderá la bombilla y daréis con la solución. Vamos allá:

Un enorme edificio en el que trabajan 10.000 personas en total tiene 10.000 interruptores cada uno de los cuales enciende o apaga su correspondiente bombilla. Los trabajadores que allí están empleados tienen una curiosa forma de actuar cada día. El primero que llega pulsa todos los interruptores, con lo que se encienden las 10.000 bombillas. El segundo que llega pulsa los interruptores 2, 4, 6… y así sucesivamente, con lo que todas las bombillas que se corresponden con los interruptores pares quedan apagadas, mientras que las impares continúan encendidas. El siguiente trabajador pulsa los interruptores 3, 6, 9… y lo mismo va sucediendo con cada uno de los trabajadores, al llegar al trabajador 5.000 pulsa el interruptor 5.000 y 10.000 mientras que todos los que llegan a continuación únicamente pulsan el interruptor que se corresponde con su número.

Evidentemente cuando han llegado los 10.000 trabajadores unas bombillas estarán encendidas y otras estarán apagadas. ¿Alguien sabe cuál es el número de la última bombilla que queda encendida en el edificio?

Esta es la tercera aportación de Matemáticas Divertidas al Carnaval de Matemáticas que este mes llega a su edición 4.12310  y cuyo blog anfitrión es Geometría Dinámica.

15 pensamientos en “Encendiendo y apagando luces

  1. la bombilla número 1 se enciende y nadie la apaga…; la 4, apagada por el segundo trabajador, es encendida por el cuarto, y luego nadie la apaga…

  2. El número de la última que queda encendida es la 9.999 … porque en una serie de 10 el numero 9 es el ultimo que se prende….

  3. Creo que la última bombilla que queda encendida es la 10.000 porque lo hago en la fábrica en la que trabajo y quedan encendidas las que corresponden con cuadrados perfectos.:
    1. 4. 9. 16. 25 …. 10.000

    • 😀 ¿No te dedicarás a la política, verdad?
      La respuesta es correcta.

      La clave está en ver el número de divisores que tiene cada número.

      Veamos un ejemplo, el número 30 tiene como divisores 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30 que también podemos poner en forma de pares (1,30), (2,15), (3,10), (5,6), sin embargo cuando se trata de cuadrados perfectos el número de divisores es siempre impar, si por ejemplo cogemos el 100 nos encontramos con 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100.
      (1,100), (2, 50), (4,25) (5,20) y 10 que queda solo. Así pues con cualquier número n que tomemos, obtendríamos como resultado que la última bombilla que queda encendida es aquella que corresponde con el mayor cuadrado perfecto que sea menor o igual que n.

      Aprovecho para agradecer los comentarios de +Jaime Torres en Google+ buscando soluciones a este problema.

  4. 9.994. Lo prende el 1, lo apaga el 2, lo prende el 19, lo apaga el 263 y lo prende el 9.994. Sinceramente no tengo mucha justificación aparte de ir probando desde el 10.000 hacia abajo cuáles eran los divisores primos de cada número. Ahora voy a ver si le consigo una justificación más seria, jeje!

  5. la bombilla 10000, porque al realizar el patrón en el cual son accionados los interruptores de los diez primeros empleados, nos percatamos que el número de veces que es accionado influye en qué estado queda la bobilla, si es ON u OFF, este patrón que se cumple para todas, y es, si el número de veces es par o impar, si es par es OFF y si es impar ON, entonces hallo los múltiplos exactos de 10000 que se encuentran entre {1 y 5000}, y este es 24 veces, esto nos dice que el interruptor Nº 10000 ha sido accionado 24 veces, un numero “par” de veces, por tanto el empleado 5000 deja este bombillo en OFF y luego lo enciende el empleado 10000 que el ultimo que toca el interruptor encendiendo el ultimo bombillo y concuerda también con el patrón, ya que los divisores exactos de 10000 entre {1 y 10000} son 25 un número impar, dejando así el bombillo encendido, si existe otra forma debe esta debe ser por media de progresiones geométricas, ya que realice esta de manera empírica y la comparto quisiera que alguien compartiera la manera de progresión

    gracias

    • Es correcto lo que comentas, aunque el problema está en que esa solución no generaliza para cualquier número de bombillas. Es decir si en vez de que fueran 10.000 bombillas fuesen 9.999 el resultado siguiendo tu método sería correcto pero mucho más largo de encontrar.

  6. Pingback: Geometría Dinámica » Resumen del Carnaval de Matemáticas 4.12310

  7. Pingback: Soluciones a los acertijos del mes de junio | Matemáticas Divertidas

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