Cuidado con las demostraciones matemáticas

demostración matemáticaLeyendo un artículo de Miguel Ángel Santos Guerra en su blog, El adarve comprobé una vez más las similitudes que hay entre las matemáticas y la vida real. Pone Miguel Ángel el ejemplo siguiente:

Supongamos que tengo un saltamontes en la palma de la mano izquierda. Y le digo imperativamente mostrándole la palma de la mano derecha:
– ¡Saltamontes, salta!
Y salta.
Cuando le tengo en la palma de la mano derecha le vuelvo a decir mostrándole la otra mano:
– ¡Saltamontes, salta!
Y salta.
Cuando se encuentra en la palma de la mano izquierda le corto todas las patas (es sólo un ejemplo, que nadie se asuste por el imaginario maltrato) le vuelvo a decir:
– ¡Saltamontes, salta!
Y ahora no salta. Entonces saco la conclusión: Cuando a un saltamontes se le cortan las patas, no oye.

Este ejemplo que evidentemente nos resulta ridículo muestra muy a las claras que no podemos sacar conclusiones sin más.

En el libro El hombre que calculaba tenemos un ejemplo similar cuando plantean a Beremiz la prueba de la falsa inducción matemática. El protagonista demuestra como podemos sugerir principios falsos a partir de ejemplos verdaderos. La historia es más o menos como sigue:

Un matemático quiere obtener la raíz cuadrada de un número de cuatro cifras. Toma varios números aleatoriamente, digamos que el 2.025, el 3.025 y el 9.801.

Calcula la raíz cuadrada del primer número y obtiene 45. Y además curiosamente 45 es la suma de 20+25, las dos primeras y las dos últimas cifras del número con el que estábamos trabajando. A continuación cogemos el 3.025 y vemos que su raíz cuadrada es 55, que además es la suma de 30+25, las dos primeras y las dos últimas cifras de 3.025. Finalmente tomamos el 9.801 y comprobamos que su raíz cuadrada es 99, la suma de 98+01.

A partir de aquí podríamos enunciar un teorema que dijera algo así como el resultado de la raíz cuadrada de un número de cuatro cifras, es la suma de las dos primeras cifras del número y las dos últimas. El teorema es falso, pero ha sido deducido de tres ejemplos en los que el presunto teorema funcionaba.

Tengamos mucho cuidado, pues ni en la vida real, ni en las matemáticas, la simple observación nos lleva a la verdad absoluta.

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El hombre que calculaba, Malba Tahan

el-hombre-que-calculabaUna de los planes que tenía cuando este blog iniciaba su andadura era ir hablando también de libros que intentaran con mejor o peor fortuna divulgar el mundo de las matemáticas. Y como alguno tiene que ser el primero, empezamos por este.

Título original: O homem que calculava
Autor: Malba Tahan (Julio Cesar de Mello e Souza).
Traducción: Carlos W. Villazón.
ISBN: 978-8498670677
Editorial: RBA Bolsillo
Páginas: 256
Fecha de publicación: 25 febrero 2008 (Publicado por primera vez en Brasil en 1938)
Precio: 6,65 euros (edición bolsillo). No hay edición digital aunque el libro se puede encontrar en distintas páginas en formato HTML o PDF.

Sinopsis: Beremiz Samir, “el hombre que calculaba’, enfrenta un sinnúmero de desafíos en el marco de un antiquísimo Irak, habitado por califas, jeques y visires. En cada uno de los relatos, Samir demuestra su dominio sobre los números, pero esa sabiduría va acompañada por una reflexión que siempre tiene una razón ética, de justicia, que hace desaparecer el problema y el desacuerdo entre los hombres, que muchas veces se deben a cuestiones insignificantes. Y es que Samir es un hombre sabio, un hombre de paz que no busca el poder sino la tranquilidad de vivir una vida plena y feliz.

Llegué a este libro de un modo totalmente casual. En estos últimos meses estuve dando clases a una futura profesora y en una asignatura de matemáticas les proponían algunos problemas curiosos. Buscando problemas similares para ella encontré con que algunos de los que a ella le habían planteado aparecían en este libro.

La historia que marra el libro es bastante flojita y para mi gusto algo deslabazada, pero supongo que el principal interés del autor no estaba en la historia en sí, sino en la divulgación de las matemáticas a través de problemas curiosos y bastante sencillos pero que en ocasiones requieren una vuelta más de tuerca o eso que algunos llaman pensamiento lateral. Además también son frecuentes las leyendas y cuentos con los que introducirnos a algunos matemáticos de la antigüedad.

La gran mayoría de los problemas que se plantean en el libro son muy conocidos, de hecho algunos que ya he publicado por aquí (1 y 2) se incluyen en el libro, pero no está de más leerlos dentro de un contexto más amplio.

En definitiva un libro que puede resultar entretenido para quién busque pequeños acertijos matemáticos al alcance casi de cualquiera.

Magia y geometría

Os dejo un vídeo que encontré en Gaussianos. Es un truco de magia en el que primero nos sobran azulejos y luego nos faltan… En la información del vídeo se nos dice que algunas personas han criticado el vídeo porque hay dos cortes en la grabación y ahí podría estar la trampa,  personalmente estoy convencido de que el truco no va por ahí.

Por cierto que os recomiendo que visiteis la página de Norberto Jansenson, autor del vídeo, porque la verdad es que merece la pena.

Marta Macho, en su blog, explica con pelos y señales dónde está el truco a través de esta animación:

tableta-chocolate

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¿Lo probamos con una tableta de chocolate y vemos que pasa?

De hipotecas, euribor y la prensa en general

hipotecaCuando hace poco menos de dos meses ponía en marcha este blog hablaba de que mi intención era mostrar la cara amable -que también la tiene- de las matemáticas, buscaba ofrecer curiosidades, acertijos y más que nada intentar divulgar el lado menos oscuro y más lúdico de esta ciencia.

Uno de los problemas que tenemos más habitualmente con las matemáticas es que nos dejamos “engañar” con mucha facilidad en cuanto nos hablan de números. Y en esto los medios de comunicación son auténticos maestros, supongo que más por propio desconocimiento de los periodistas que mala intención en lo que nos cuentan. Hay un libro por ahí, del que, por cierto, hablaré en breve en una nueva sección de Matemáticas Divertidas, titulado El hombre anumérico, escrito John Allen Paulos, que trata sobre este tema.

Esta mañana escuchaba en la radio que con la última bajada del Euribor las hipotecas se reducían en 65 euros al mes. Es una noticia que se repite todos los meses, dependiendo de si sube o baja el Euribor y entiendo que para hacer menos árida o más comprensible la noticia unas veces nos dicen cuanto sube o baja la cuota mensual o anual de la hipoteca. En los medios escritos, normalmente aparece algo más de información y ya nos hablan de que esta cantidad que sube o baja la hipoteca es para la hipoteca media, de 150.000 euros a 25 años. En medios algo más especializados ya nos hablan de que esta reducción para hipotecas de mayor cuantía y mayor plazo de amortización es algo mayor.

Hace unos días entraba en la página del Instituto Nacional de Estadística y curioseando veía un artículo en el que se hablaba del importe medio de las hipotecas. Lo curioso es que actualmente la hipoteca media para compra de vivienda concedida en España es de 102.906 euros (datos provisionales del mes de Enero, pdf), pero es que las constituidas hace un año, y que ahora se renuevan (suponiendo que la revisión sea anual y no semestral que también las hay) era de 114.340 euros (pdf). Estos datos los publica mensualmente el INE y supongo que los medios de comunicación tienen acceso a ellos al igual que lo podemos tener cualquiera de nosotros.

Se me escapa el saber cuál será el motivo por el que los medios de comunicación se empeñan, mes tras mes, en repetirnos que la hipoteca media es de 150.000 euros. Pero es que hay más, el ahorro del que nos hablan es para una hipoteca de 150.000 euros constituida hace un año, ¿y qué ocurre con las constituidas hace más años y que ahora tienen que renovarse? ¿qué pasa con las posibles amortizaciones anticipadas que se hayan podido hacer? Para que la información fuera más veraz debería hablarse del capital medio pendiente de amortizar por todas las hipotecas vivas pero esa información no nos la dan.

De todos modos no es el único caso en el que los números juegan malas pasadas a los medios de comunicación, hay multitud de ejemplos y por aquí seguiremos contándolos.

En fin, que la próxima vez que alguien escuche que la hipoteca sube o baja por culpa del Euribor que recuerde que las cosas no son como parecen, cuando llegue el recibo podremos ver lo que de verdad ha subido o bajado nuestra hipoteca.

 

Los 35 camellos

camelloEsta historia que relato a continuación tiene su origen en el libro El hombre que calculaba, de Malba Tahan, del que en breve os hablaré por aquí.

Montados en un camello en dirección a Bagdad viajan el calculista Beremiz Samir y un bagdalí. Cerca de un albergue de caravanas se encuentran con tres hombres que discuten acaloradamente sobre el reparto de una herencia.

Beremiz se interesa por el problema y le explican lo que sucede:

Somos hermanos, explica el mayor, llamado Mustafá, y a la muerte de nuestro padre hemos recibido como herencia estos 35 camellos. Según su voluntad para mí, que soy el mayor, serán la mitad de ellos, para Hamet, el hermano mediano serán la tercera parte y a Harim, el más joven, le corresponde la novena parte. Los tres aceptamos la voluntad de nuestro padre, pero no sabemos como efectuar la partición y no nos ponemos de acuerdo en el reparto. Ni la mitad de 35, ni la tercera parte ni la novena parte arrojan repartos exactos. A mí me corresponden más de 17, pero menos de 18. A Hamen más de 11 pero menos de 12 y a Harim más de 3 pero menos de 4, así que ¿cómo podemos hacer la partición?

Muy sencillo, dijo Beremiz. Yo me comprometo a hacer un reparto justo que a todos convenga. Pide al bagdalí su camello, y aunque éste se muestra muy reacio, finalmente cede. Beremiz entonces dice que va a proceder a hacer una división justa y cabal:

A ti Mustafá te corresponden la mitad de 36, esto es 18. A ti Hamet te corresponde la tercera parte, es decir 12. Por último a Harim le corresponden 4. Ninguno podéis quejaros pues todos habéis ganado con mi reparto ya que sabíais que debíais recibir algo más de 17, de 11 y de 3 respectivamente. En cualquier caso 18+12+4= 34 camellos, con lo que sobran dos. Uno, el de mi amigo bagdalí, el otro me lo llevaré yo como pago por haber resuelto ventajosamente el complicado problema de la herencia.

Los tres hermanos muestran su satisfacción y aceptan gustosos el pago del camello. ¡Sólo Allah sabe la verdad! ¡Alabado sea Allah que creo la imaginación, las matemáticas y la mujer!

 

 

Curioso método de multiplicación

mayasEl pueblo maya tenía una cultura bastante avanzada para su época. Según parece eran buenos con las matemáticas teniendo en cuenta los recursos que tenían. Los mayas usaban un sistema de numeración de base veinte y de base cinco y parece que fueron los primeros en desarrollar el concepto de cero.

El método que utilizaban para multiplicar aún hoy nos puede resultar curioso, pero lo cierto es que es bastante rápido, sirve para prácticamente cualquier número, no es necesario saberse las tablas de multiplicar pero como aspecto negativo cuando los números son grandes no es demasiado rápido. Hace unos días, Javi M. me decía que había visto un vídeo en Internet en el que multiplicaban haciendo rayas. Le estuve explicando como se hacía y aquí os dejo un vídeo en el que se muestra el proceso. Espero que os guste:

Bicicletas y moscas

ciclistaUn acertijo no demasiado complicado siempre que no nos compliquemos la vida…

Dos chavales en sus bicicletas están separados por 40 kilómetros de distancia, y comienzan a pedalear uno al encuentro del otro. En el momento de la salida una mosca que estaba en el manillar de una de las bicicletas empieza también a volar en dirección al otro ciclista. En cuanto llega hasta ese ciclista, da la vuelta e inmediatamente vuela de regreso hacia el primero. La mosca repite este vuelo de manillar a manillar hasta que los dos ciclistas se reúnen.

Si cada uno de los ciclistas marchó a una velocidad constante de 20 kilómetros por hora, y la mosca voló a una velocidad también constante de 25 kilómetros a la hora, ¿cuánta distancia recorrió la mosca?

Este problema guarda una curiosa anécdota, que además puede servir de pista para resolver el acertijo, y es que tenemos la opción de calcular la longitud del primero de los recorridos de la mosca entre ambos manillares, después la longitud del recorrido de vuelta y así sucesivamente para recorridos cada vez más cortos pues irá siendo menor la distancia que separe a los dos ciclistas. Este procedimiento involucra la suma de una serie infinita que podemos considerar relativamente o bastante compleja. Se cuenta que a John Von Neumann, uno de los más grandes matemáticos, le plantearon en una fiesta este problema. Pensó un instante y dio la respuesta correcta como no podía ser menos. Quién había hecho la pregunta pareció quedar algo decepcionado y le dijo que la mayoría de los matemáticos resolvían el problema mediante el proceso de sumar una serie infinita pasando por alto la manera más simple de resolverlo (esa que yo propongo). Von Neumann quedó sorprendido y dijo que no se le ocurría otro método para resolver el problema que utilizar la suma de una serie infinita. ¿Lo intentamos resolver de otra manera?